Круговая диаграмма Мора
Экстремальные свойства главных напряжений.
Возьмем в теле произвольную точку А (х, у, z). Через эту точку можно провести бесконечное множество площадок. Очевидно, что на одной из площадок нормальное напряжение достигнет наибольшего для данной точки значения, а на другой касательное напряжение примет свое максимальное значение.
Пусть для точки А известно положение главных осей напряженного состояния. Если их принять за систему координат (рис.23), то в наклонной площадке с вектором нормали n (l, m, n) возникают нормальные и касательные напряжения Р(s, t). Определим эти напряжения и исследуем их экстремальные свойства.
 |
Нормальные напряжения в любой наклонной площадке выражаются основной квадратичной формой (33). Запишем её с учетом того, что в качестве системы координат приняты главные оси:
Найдем квадрат полного напряжения на наклонной площадке как сумму квадратов его проекций, выражения для которых были найдены ранее (32):
Также полное напряжение на наклонной площадке можно представить как сумму нормального и касательного напряжений (17).
Таким образом, мы имеем систему трех уравнений с тремя неизвестными — l 2 , m 2 , n 2 :
s = s1×l 2 + s2×m 2 + s3×n 2 ,
s 2 + t 2 = s1 2 ×l 2 + s2 2 ×m 2 + s3 2 ×n 2 , (40)
1 = l 2 + m 2 + n 2 .
Умножим каждое уравнение на произвольные множители a, b, c и сложим, сгруппировав при этом слагаемые по направляющим косинусам
а×s + b×(s 2 + t 2 ) + с =
Для определения величины l 2 подберем коэффициенты a, b, c таким образом, чтобы вторая и третья скобки в правой части уравнения (41) обнулились:
Подставляя полученные коэффициенты в уравнение (41), находим величину l 2 :
l 2 =
. (42)
Аналогично находим квадраты двух других направляющих косинусов
m 2 = 
,
n 2 = 
.
В уравнениях (42) и (43) дроби должны быть больше нуля, так как в левых частях стоят квадраты величин. Проанализируем знаменатели дробей на основе неравенства s1 ³ s2 ³ s3:
³ 0,
£ 0, (44)
³ 0.
На основе неравенств (44) можно сделать вывод о знаке числителя:
 |
³ 0,
£ 0, (45)
³ 0.
Сделав ряд математических преобразований, можно показать, что неравенства (45) представляют собой области, ограниченные окружностями. Рассмотрим третье неравенство и представим его решение графически (рис.24):
. (46)
Представим решение системы (45) графически (рис. 25). Эта диаграмма называется круговой диаграммой Мора. Круговая диаграмма позволяет установить экстремальные свойства нормальных и касательных напряжений.
 |
s1 — максимальное нормальное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке;
s3 — минимальное нормальное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке;
tmax = 
— максимальное касательное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке, действует на площадках наклоненных к главным на угол 45°.
Источник
Круг Мора, главные напряжения
Чтобы определить напряжения по наклонным сечениям, можно также воспользоваться графическим методом. Суть метода заключается в следующем: строится система координат; на оси икс откладываются нормальные напряжения, на оси игрек откладываются касательные напряжения. В нашем случае на выбранной площадке действуют только нормальные напряжения σx и σy, причём σy является бОльшим напряжением. Далее откладываются точки с координатами (σx;0) и (σy;0). Далее находится точка посередине между ними и на ней, как на центре, строится окружность диаметром (σy-σx):
В предыдущем уроке для нахождения напряжений по наклонным сечениям угол альфа брался от оси икс, точнее от напряжения в этом направлении. Здесь же необходимо отложить удвоенный угол, два альфа, и отложить его от точки А в направлении против часовой стрелки. В итоге получится точка на окружности, координаты которой будут представлять из себя нормальное и касательное напряжение, действующее по данной наклонной площадке:
Можно показать, что:
Из построения определим длину OE:
Определим длину DE:
Полученные выражения совпали с формулами, выведенными в предыдущем уроке.
Из построения видно, что касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках равны по модулю, но противоположны по направлению:
В этом можно убедиться, воспользовавшись формулой:
По аналогии можно получить формулы для нормальных напряжений на площадке +90 градусов:
Данная графическая интерпретация напряжённого состояния в материале называется кругом Мора.
Кругом Мора удобно пользоваться и для решения обратной задачи. Например, рассмотренный ранее случай наддува обшивки фюзеляжа самолёта всегда сопровождается и другими типами нагружения: фюзеляж самолёта изгибается, закручивается и т.д. В итоге к напряжениям от наддува добавляются нормальные и касательные напряжения от изгиба, касательные напряжения от кручения и т.д., что приводит элемент обшивки в следующее напряжённое состояние:
Бывает, что необходимо определить то, на какой угол надо повернуть данный элемент, чтобы по граням элемента действовали только нормальные напряжения. Такие нормальные напряжения, на площадках которых не действует касательных напряжений, будем называть главными. Определим главные напряжения для вышеприведённого элемента, используя круг Мора:
Имея центр в точке C и радиусы CD и CD1, можно достроить окружность:
Условимся обозначать главные напряжения σ1 и σ2, причём σ1 всегда больше σ2.
Из рисунка имеем:
Направление главных напряжений можно получить из рисунка. Известно, что угол DCA есть удвоенный угол между напряжением σ1 и осью икс, и так как 2α измерено от A к D против часовой стрелки, то направление σ1 должно быть следующим (см. рисунок ниже). Это можно проверить, если решать обратную задачу нахождения касательных напряжений по наклонным площадкам.
Для определения числового значения угла из рисунка имеем:
Что касается знака, то он должен быть взят отрицательный, так как он измерен от оси икс по часовой стрелке. Следовательно, получим:
Полученные выше напряжения – главные, и они являются максимальными. Что касается максимальных касательных напряжений, то они определяются величиной радиуса круга:
Источник
Что такое диаграмма мора
Определим нормальные и касательные напряжения на всех площадках, перпендикулярных к одной из главных, например к третьей главной площадке. На рис. 10.9 одна из этих площадок заштрихована.
Как следует из рис. 10.9, нормали к указанным площадкам имеют направляющие косинусы 
. Подставляя эти значения направляющих косинусов в формулы (10.15), получаем следующие выражения для нормального и касательного напряжений в исследуемых площадках:
Заменяя в последних равенствах 
а их выражениями через косинус двойного угла, после простых преобразований (в выражении Ту предварительно возводится в квадрат сумма, заключенная в скобки) получаем
Обратимся к геометрической интерпретации этих формул.
Возьмем две перпендикулярные оси; по оси абсцисс будем откладывать нормальные напряжения, а по оси ординат — касательные напряжения (рис. 10.10). Отложим отрезки ОА и 
соответствующие в выбранном масштабе напряжениям 
Затем на разности отрезков 
и 
как на диаметре построим окружность. Радиус этой окружности, как следует из ее построения, равен 
а абсцисса центра равна 
Проведем из центра окружности прямую под углом 2а к оси абсцисс. Координаты точки пересечения этой прямой с окружностью суть отрезки 
и 
Как видно из диаграммы,
Сравнивая эти выражения с правыми частями формул (10.18), приходим к выводу, что координаты точки М определяют нормальные и касательные напряжения на площадке, наклоненной под углом а к первой главной площадке. Следовательно, координаты всех точек построенной окружности определяют напряжения во всех площадках, проходящих через данную точку и перпендикулярных к третьей главной площадке.
К такому заключению можно прийти и другим путем. Исключая из 
, получаем
В осях 
— это уравнение окружности радиуса 
с центром на оси а, абсцисса которого 
Именно эта окружность и построена на рис. 10.10.
Аналогично можно построить круговые диаграммы для площадок, перпендикулярных ко второй, а затем и к первой главной
площадке. Если все три диаграммы построить на одном графике, то получим диаграмму для объемного напряженного состояния. Такая диаграмма представлена на рис. 10.11; она называется круговой диаграммой Мора.
Координаты точек окружности 1 на этой диаграмме определяют 
во всем множестве площадок, перпендикулярных ко второй главной площадке. Координаты точек окружности 2 определяют 
для всех площадок, перпендикулярных к третьей главной, а окружности 3 — для площадок, перпендикулярных к первой главной площадке.
В теории упругости доказывается, что напряжения на любой площадке, наклонной ко всем трем главным площадкам, определяются координатами точек заштрихованной части диаграммы.
Приведем круговые диаграммы для некоторых напряженных состояний.
На рис. 10.12 приведены круговые диаграммы напряжений для одноосного растяжения, одноосного сжатия и чистого сдвига. На рис. 10.13 представлена круговая диаграмма для гидростатического сжатия 
. В этом случае радиусы всех трех кругов напряжений равны нулю. Следовательно, при гидростатическом сжатии любая площадка, проходящая через точку, будет главной. Такое же положение имеет место и при всестороннем растяжении силами равной интенсивности.
Рассмотрение круговой диаграммы приводит к следующим выводам.
1. Наибольшее главное напряжение является наибольшим из всех нормальных напряжений, существующих в точке, а наименьшее — наименьшим из нормальных напряжений в этой точке. Иначе говоря, нормальные напряжения на главных площадках достигают экстремальных значений.
2, Максимальное касательное напряжение в точке
и действует на двух ортогональных площадках, перпендикулярных ко второй главной площадке и составляющих с первой и третьей углы 45°. Наибольшие касательные напряжения на площадках, перпендикулярных к первой и третьей главным площадкам:
Площадки действия этих напряжений соответственно делят пополам углы между второй и третьей и между первой и второй главными площадками.
К такому же заключению мы пришли в разд. 10.8 иным путем.
3. В случае равенства хотя бы двух главных напряжений один из кругов Мора стягивается в точку, и это означает, что в точке тела существует бесчисленное множество главных площадок. Эти площадки параллельны направлению главного напряжения, отличного от двух равных между собой главных напряжений. В случае равенства всех трех главных напряжений любая площадка, проходящая через точку, является главной.
Источник