- Теория Мора – Кулона — Mohr–Coulomb theory
- Содержание
- История развития
- Критерий разрушения Мора – Кулона
- Критерий разрушения Мора – Кулона в трех измерениях
- Поверхность разрушения Мора – Кулона в пространстве Хая – Вестергаарда
- Податливость и пластичность Мора – Кулона
- Типичные значения сцепления и угла внутреннего трения
Теория Мора – Кулона — Mohr–Coulomb theory
Теория Мора – Кулона — это математическая модель (см. Поверхность текучести ), описывающая реакцию хрупких материалов, таких как бетон или груды щебня, на напряжение сдвига, а также нормальное напряжение. Большинство классических инженерных материалов так или иначе следуют этому правилу, по крайней мере, в части диапазона их разрушения при сдвиге. Как правило, теория применима к материалам, у которых прочность на сжатие намного превышает предел прочности на разрыв .
В геотехнической инженерии он используется для определения прочности грунтов и горных пород на сдвиг при различных эффективных напряжениях .
В проектировании конструкций он используется для определения разрушающей нагрузки, а также угла разрушения сдвиговой трещины в бетоне и подобных материалах. Кулоновское «с трением гипотеза используется для определения комбинации сдвига и нормального напряжения , что приведет к разрушению материала. Круг Мора используется для определения того, какие главные напряжения будут вызывать эту комбинацию сдвига и нормального напряжения, а также угол плоскости, в которой это произойдет. Согласно принципу нормальности напряжение, возникающее при разрушении, будет перпендикулярно линии, описывающей состояние разрушения.
Можно показать, что материал, разрушающийся в соответствии с гипотезой кулоновского трения, будет демонстрировать смещение, вносимое при разрыве, образуя угол к линии разрушения, равный углу трения . Это позволяет определить прочность материала путем сравнения внешней механической работы, вызванной смещением и внешней нагрузкой, с внутренней механической работой, вызванной деформацией и напряжением на линии разрушения. За счет сохранения энергии их сумма должна быть равна нулю, и это позволит рассчитать разрушающую нагрузку конструкции.
Общее улучшение этой модели является сочетание трения гипотезы Кулона с Ренкиным основных стрессовых гипотезами для описания разрушения разделения.
Содержание
История развития
Теория Мора – Кулона названа в честь Шарля-Огюстена де Кулона и Кристиана Отто Мора . Вклад Кулона — эссе 1773 года под названием « Essai sur une application des règles des maximis et minimis à quelques problèmes de statique relatifs à l’architecture ». Примерно в конце XIX века Мор разработал обобщенную форму теории. Поскольку обобщенная форма повлияла на интерпретацию критерия, но не на его сущность, в некоторых текстах критерий по-прежнему упоминается просто как « критерий Кулона» .
Критерий разрушения Мора – Кулона
Критерий разрушения Мора – Кулона представляет собой линейную огибающую, которая получается из графика зависимости прочности материала на сдвиг от приложенного нормального напряжения. Это отношение выражается как
τ знак равно σ загар ( ϕ ) + c <\ Displaystyle \ тау = \ сигма
\ загар (\ фи) + с> 
где — прочность на сдвиг, — нормальное напряжение, — точка пересечения границы разрушения с осью и — наклон зоны разрушения. Величину часто называют сцеплением, а угол — углом внутреннего трения . В нижеследующем обсуждении предполагается, что сжатие положительно. Если предполагается отрицательное сжатие, его следует заменить на . τ <\ Displaystyle \ тау> σ <\ displaystyle \ sigma> c <\ displaystyle c> τ <\ Displaystyle \ тау> загар ( ϕ ) <\ Displaystyle \ загар (\ фи)> c <\ displaystyle c> ϕ <\ displaystyle \ phi> σ <\ displaystyle \ sigma> — σ <\ displaystyle - \ sigma>
Если критерий Мора – Кулона сводится к критерию Трески . С другой стороны, если модель Мора – Кулона эквивалентна модели Ренкина. Более высокие значения не допускаются. ϕ знак равно 0 <\ displaystyle \ phi = 0> ϕ знак равно 90 ∘ <\ displaystyle \ phi = 90 ^ <\ circ>> ϕ <\ displaystyle \ phi>
σ знак равно σ м — τ м грех ϕ ; τ знак равно τ м потому что ϕ <\ displaystyle \ sigma = \ sigma _
\ tau = \ tau _
τ м знак равно σ 1 — σ 3 2 ; σ м знак равно σ 1 + σ 3 2 <\ displaystyle \ tau _
\ sigma _
и — максимальное главное напряжение, а — минимальное главное напряжение. σ 1 <\ displaystyle \ sigma _ <1>> σ 3 <\ displaystyle \ sigma _ <3>>
Следовательно, критерий Мора – Кулона можно также выразить как
.>
Эта форма критерия Мора – Кулона применима к отказу на плоскости, параллельной направлению. σ 2 <\ displaystyle \ sigma _ <2>>
Критерий разрушения Мора – Кулона в трех измерениях
Трехмерный критерий Мора – Кулона часто выражается как
< ± σ 1 - σ 2 2 знак равно [ σ 1 + σ 2 2 ] грех ( ϕ ) + c потому что ( ϕ ) ± σ 2 - σ 3 2 знак равно [ σ 2 + σ 3 2 ] грех ( ϕ ) + c потому что ( ϕ ) ± σ 3 - σ 1 2 знак равно [ σ 3 + σ 1 2 ] грех ( ϕ ) + c потому что ( ϕ ) . <\ displaystyle \ left \ <<\ begin
Поверхность разрушения Мора-Кулон является конусом с шестиугольным поперечным сечением в девиаторном пространстве напряжений.
Выражения для и могут быть обобщены до трех измерений путем разработки выражений для нормального напряжения и разрешенного напряжения сдвига на плоскости произвольной ориентации относительно осей координат (базисных векторов). Если единица измерения, нормальная к интересующей плоскости, равна τ <\ Displaystyle \ тау> σ <\ displaystyle \ sigma>
п знак равно п 1 е 1 + п 2 е 2 + п 3 е 3 <\ displaystyle \ mathbf
\ mathbf
где три блок ортонормирована базисные векторы, и если главные напряжения выровнены с базисными векторами , то выражения для являются е я , я знак равно 1 , 2 , 3 <\ displaystyle \ mathbf
i = 1,2,3> σ 1 , σ 2 , σ 3 <\ Displaystyle \ sigma _ <1>, \ sigma _ <2>, \ sigma _ <3>> е 1 , е 2 , е 3 <\ displaystyle \ mathbf σ , τ <\ displaystyle \ sigma, \ tau>
σ знак равно п 1 2 σ 1 + п 2 2 σ 2 + п 3 2 σ 3 τ знак равно ( п 1 σ 1 ) 2 + ( п 2 σ 2 ) 2 + ( п 3 σ 3 ) 2 — σ 2 знак равно п 1 2 п 2 2 ( σ 1 — σ 2 ) 2 + п 2 2 п 3 2 ( σ 2 — σ 3 ) 2 + п 3 2 п 1 2 ( σ 3 — σ 1 ) 2 . <\ Displaystyle <\ begin
Затем критерий разрушения Мора – Кулона можно оценить с помощью обычного выражения
τ знак равно σ загар ( ϕ ) + c <\ Displaystyle \ тау = \ сигма
\ загар (\ фи) + с>
для шести плоскостей максимального напряжения сдвига.
| Определение нормального напряжения и напряжения сдвига на плоскости |
|---|
| Пусть единица, нормальная к интересующей плоскости, есть п знак равно п 1 е 1 + п 2 е 2 + п 3 е 3 <\ displaystyle \ mathbf \ mathbf где — три ортонормированных единичных базисных вектора. Тогда вектор тяги на плоскости определяется выражением е я , я знак равно 1 , 2 , 3 <\ displaystyle \ mathbf i = 1,2,3> т знак равно п я σ я j е j (повторяющиеся индексы указывают на суммирование) <\ displaystyle \ mathbf <\ text <(повторяющиеся индексы указывают на суммирование)>>> Величина вектора тяги определяется выражением | т | знак равно ( п j σ 1 j ) 2 + ( п k σ 2 k ) 2 + ( п л σ 3 л ) 2 (повторяющиеся индексы указывают на суммирование) <\ displaystyle | \ mathbf <\ text <(повторяющиеся индексы указывают на суммирование)>>> Тогда величина напряжения, нормального к плоскости, определяется выражением σ знак равно т ⋅ п знак равно п я σ я j п j (повторяющиеся индексы указывают на суммирование) <\ displaystyle \ sigma = \ mathbf <\ text <(повторяющиеся индексы указывают на суммирование)>>> Величина разрешенного напряжения сдвига на плоскости определяется выражением τ знак равно | т | 2 — σ 2 <\ Displaystyle \ тау = <\ sqrt <| \ mathbf Что касается компонентов, у нас есть σ знак равно п 1 2 σ 11 + п 2 2 σ 22 + п 3 2 σ 33 + 2 ( п 1 п 2 σ 12 + п 2 п 3 σ 23 + п 3 п 1 σ 31 год ) τ знак равно ( п 1 σ 11 + п 2 σ 12 + п 3 σ 31 год ) 2 + ( п 1 σ 12 + п 2 σ 22 + п 3 σ 23 ) 2 + ( п 1 σ 31 год + п 2 σ 23 + п 3 σ 33 ) 2 — σ 2 <\ displaystyle <\ begin Если главные напряжения выравниваются с базисными векторами , то выражения для АРЯ σ 1 , σ 2 , σ 3 <\ Displaystyle \ sigma _ <1>, \ sigma _ <2>, \ sigma _ <3>> σ знак равно п 1 2 σ 1 + п 2 2 σ 2 + п 3 2 σ 3 τ знак равно ( п 1 σ 1 ) 2 + ( п 2 σ 2 ) 2 + ( п 3 σ 3 ) 2 — σ 2 знак равно п 1 2 п 2 2 ( σ 1 — σ 2 ) 2 + п 2 2 п 3 2 ( σ 2 — σ 3 ) 2 + п 3 2 п 1 2 ( σ 3 — σ 1 ) 2 <\ Displaystyle <\ begin |
| Вывод альтернативных форм функции текучести Мора – Кулона |
|---|
| Мы можем выразить функцию доходности σ 1 — σ 3 2 знак равно σ 1 + σ 3 2 грех ϕ + c потому что ϕ <\ displaystyle <\ cfrac <\ sigma _ <1>— \ sigma _ <3>> <2>> = <\ cfrac <\ sigma _ <1>+ \ sigma _ <3>> <2>> \ грех \ фи + с \ соз \ фи> σ 1 ( 1 — грех ϕ ) 2 c потому что ϕ — σ 3 ( 1 + грех ϕ ) 2 c потому что ϕ знак равно 1 . \ cos \ phi>> — \ sigma _ .> В инварианты Хей-Вестергард связаны с главными напряжениями от σ 1 знак равно 1 3 ξ + 2 3 ρ потому что θ ; σ 3 знак равно 1 3 ξ + 2 3 ρ потому что ( θ + 2 π 3 ) . <\ Displaystyle \ sigma _ <1>= <\ cfrac <1><\ sqrt <3>>> \ cos \ left (\ theta + <\ cfrac <2 \ pi><3>> \ right) .> Подстановка выражения для функции текучести Мора – Кулона дает нам — 2 ξ грех ϕ + ρ [ потому что θ — потому что ( θ + 2 π / 3 ) ] — ρ грех ϕ [ потому что θ + потому что ( θ + 2 π / 3 ) ] знак равно 6 c потому что ϕ <\ displaystyle - <\ sqrt <2>> \ sin \ phi + \ rho [\ cos \ theta — \ cos (\ theta +2 \ pi / 3)] — \ rho \ sin \ phi [\ cos \ theta + \ cos (\ theta +2 \ pi / 3)] = <\ sqrt <6>> \ cos \ phi> Использование тригонометрических тождеств для суммы и разности косинусов и перестановки дает нам выражение функции текучести Мора – Кулона через . ξ , ρ , θ <\ Displaystyle \ xi, \ rho, \ theta> Мы можем выразить функцию доходности в терминах , используя соотношения п , q <\ displaystyle p, q> ξ знак равно 3 п ; ρ знак равно 2 3 q <\ displaystyle \ xi = <\ sqrt <3>> q> и прямая замена. Податливость и пластичность Мора – КулонаПоверхность текучести Мора – Кулона часто используется для моделирования пластического течения геоматериалов (и других материалов, связанных с трением). Многие такие материалы демонстрируют дилатационное поведение при трехосных напряжениях, которые модель Мора – Кулона не включает. Кроме того, поскольку поверхность текучести имеет углы, может быть неудобно использовать исходную модель Мора – Кулона для определения направления пластического течения (в теории пластичности течения ). Обычный подход заключается в использовании гладкого не связанного потенциала пластического течения. Примером такого потенциала является функция грамм знак равно ( α c y загар ψ ) 2 + грамм 2 ( ϕ , θ ) q 2 — п загар ϕ <\ displaystyle g: = <\ sqrt <(\ alpha c _ <\ mathrm q ^ <2>> > -p \ tan \ phi> где — параметр, — значение, когда пластическая деформация равна нулю (также называемая начальным пределом текучести когезии ), — это угол, образующий поверхность текучести в плоскости Rendulic при высоких значениях (этот угол также называется углом растяжения ), и является подходящей функцией, которая также является гладкой в плоскости девиаторных напряжений. α <\ displaystyle \ alpha> Типичные значения сцепления и угла внутреннего тренияЗначения когезии (также называемой когезионной прочностью ) и угла трения для горных пород и некоторых распространенных грунтов перечислены в таблицах ниже. Источник |