ПроСопромат.ру
Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания
Интеграл Мора
Для решения вопросов жесткости элементов требуется определять перемещения (линейные, угловые). Существуют несколько способов определения перемещений, одним из которых является определение перемещений по интегралу Мора.
Алгоритм вычисления перемещений по интегралу (формуле) Мора:
1. Составляем выражение изгибающего момента MF от действующей нагрузки.
2. Снимаем с балки (рамы, фермы и т.д.) все нагрузки, и в точке, где необходимо определить перемещение, прикладываем единичную силу 
(если определяем линейное перемещение) либо единичный момент 
(если определяем угловое перемещение) по направлению искомого перемещения. Составляем выражение изгибающего момента 
от единичного фактора.
3. Подставляем выражения моментов в интеграл Мора:
где: Δ — перемещение в общем виде, знак Σ распространяется на все участки балки; EI – изгибная жесткость на участке.
Источник
Определение перемещений методом Мора
Метод Мора позволяет определять линейные и угловые перемещения любых сечений любой расчетной схемы по любому направлению от действия любых нагрузок.
Коротко напомним порядок определения перемещений методом Мора.
Для определения перемещений методом Мора необходимо:
1. Изобразить расчетную схему конструкции – грузовое состояние.
2. Изобразить вспомогательное состояние – расчетную схему, освобожденную от всех нагрузок. Приложить к вспомогательному состоянию в точке, где определяется перемещение, по направлению этого перемещения единичный силовой фактор – силу, равную безразмерной единице, если определяется линейное перемещение, или момент, равный безразмерной единице, если определяется угловое перемещение.
3. Грузовое и вспомогательное состояние разделить на одинаковое число участков. Границами участков являются сечения, где приложены сосредоточенные силы или моменты, в том числе и единичные, начинаются или кончаются распределенные нагрузки, узлы рамы, а также точки на расчетной схеме, в которых изменяется поперечное сечение. Пронумеровать участки. Порядок нумерации и порядок обхода участков для грузового и вспомогательного состояния должны быть одинаковыми. Для произвольного сечения каждого участка записать аналитические выражения для определения внутренних силовых факторов, возникающих в грузовом и вспомогательном состояниях.
4. Полученные аналитические выражения подставить в формулу Мора и произвести необходимые вычисления, в результате этих вычислений получают искомое перемещение. Если искомое перемещение получено со знаком «плюс», то это означает, что его направление совпадает с направлением единичного силового фактора. Знак «минус» при перемещении означает, что действительное направление перемещения противоположно направлению единичного силового фактора.
Общий вид формулы Мора
 . | (3.1) |
Для плоской системы формула (3.1) принимает вид
 . | (3.2) |
Примечание. В формулах (3.1) и (3.2) опущены слагаемые, учитывающие влияние Qx и Qy на величину искомого перемещения, так как в технических расчетах этим влиянием пренебрегают ввиду его малости.
В балках и плоских рамах в большинстве случаев пренебрегают и влиянием N, тогда перемещения определяют по формуле
 . | (3.3) |
В шарнирных фермах, состоящих из прямых стержней, в формуле Мора сохраняется лишь член, учитывающий только нормальную силу
 . | (3.4) |
В формулах (3.1)…(3.4):
n – число участков интегрирования;
i – номер участка;
Mx , My , Mk , N – аналитические выражения для определения внутренних силовых факторов в грузовом состоянии;
– то же во вспомогательном состоянии;
E, G – модуль упругости и модуль сдвига соответственно;
Ix , Iy , Ik , F – геометрические характеристики поперечного сечения.
Для прямолинейных участков с постоянной жесткостью интегралы Мора можно вычислять графоаналитическим способом – способом Верещагина. Способ Верещагина иногда называют способом «перемножения» эпюр. Чтобы им воспользоваться, необходимо построить эпюры для грузового и вспомогательного состояний.
Формулы (3.1)…(3.4) в этом случае принимают вид
 | (3.1а) |
 . | (3.2а) |
 . | (3.3а) |
 . | (3.4а) |
В формулах (3.1а)…(3.4а):
, 
, 
, WN – площади грузовых эпюр на i-м участке;
– ординаты единичных эпюр (эпюр для вспомогательного состояния) i-го участка, взятые в тех сечениях, где расположены центры тяжести площадей грузовых эпюр.
Если площадь грузовой эпюры и ордината под ее центром тяжести, взятая с единичной эпюры, расположены по разные стороны от базовой линии, то их произведение берется со знаком «минус». Формулы для вычисления площадей (W) фигур, изображающих грузовые эпюры на участках, положение центров тяжести (С) этих фигур, а также соответствующие им ординаты ( 
) на единичных эпюрах для наиболее простых случаев даны в табл. 4.
В более сложных случаях перемножение эпюр на линейных участках (рис. 5) может быть выполнено по универсальной формуле
 ,* | (3.5) |
где l – длина участка; a, b – ординаты грузовой эпюры на границах участка; c, d – ординаты единичной эпюры на границах участка; f – высота параболического сегмента грузовой эпюры.
Ординаты a, b, c, d, f подставляются в формулу (3.5) с учетом знаков. Правило знаков для ординат устанавливает сам студент, например так, как показано на рис. 5. Знак f берется по отношению к линии АВ. Ордината f считается положительной, если она направлена от линии АВ в сторону знака «плюс», и отрицательной, если в сторону знака «минус».
* Формула в таком виде предложена автором
 | Грузовая эпюра  Правило знаков |
Единичная эпюра  |
Значение f для эпюр изгибающих моментов при наличии на участке равномерно распределенной нагрузки может быть определено так:
 , | (3.6) |
где q – интенсивность равномерно распределенной нагрузки; l – длина участка.
Примечание. Если по формуле (3.5) перемножаются две эпюры, ограниченные прямыми линиями, то f = 0 и формула (3.5) превращается в известную формулу трапеций.
Известна и другая универсальная формула
 , | (3.7) |
где e, g – ординаты грузовой и единичных эпюр на середине участка.
 | (3.8) |
Ординаты e и g, так же как и ординаты a, b, c, d, f , в формулы (3.7) и (3.8)подставляют с учетом принятого правила знаков.
По формулам (3.5) и (3.7) могут перемножаться эпюры, изображаемые треугольниками, прямоугольниками, трапециями, в том числе и перекрученными, в любом сочетании. Одна из перемножаемых эпюр может быть ограничена квадратичной параболой.
Источник
ПроСопромат.ру
Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания
Определение перемещений. Метод О. Мора в сочетании со способом (формулой) Симпсона
Для определения любого перемещения (линейного или углового) в методе Мора балка рассматривается в двух состояниях: действительном и вспомогательном. Вспомогательное состояние получается следующим образом: сначала всю заданную нагрузку нужно удалить, затем приложить «единичный силовой фактор» в том месте, где требуется определить перемещение, и по направлению этого искомого перемещения. Причем, когда определяем линейное перемещение (прогиб балки), то в качестве «единичного силового фактора» принимается сосредоточенная сила 
, а если требуется найти угол поворота, то приложить следует сосредоточенную пару 
.
Далее в одном и том же произвольном сечении обоих состояний (то есть и действительного, и вспомогательного) составляются аналитические выражения изгибающего момента, которые подставляются в формулу, называемую «интегралом Мора»:
где: знак Σ распространяется на все участки балки,
а EI – изгибная жесткость на участке.
Во многих случаях интегрирования по Мору можно избежать и применить способ «перемножения» эпюр. Одним из таких способов является способ Симпсона, по которому значение интеграла Мора на участке длиной ℓ вычисляется по следующей формуле:
Здесь обозначено: a, b и с – соответственно крайние и средняя ординаты эпюры изгибающих моментов действительного состояния М,
— крайние и средняя ординаты эпюры изгибающих моментов, но только вспомогательного состояния .
Правило знаков: если обе «перемножаемые» ординаты в двух эпюрах расположены по одну сторону от оси эпюры (то есть они одного знака), то перед их произведением мы должны поставить знак «плюс: а если они по разные стороны от оси эпюры, то перед произведением ставим знак «минус».
Следует иметь в виду, что способы «перемножения» эпюр (кроме способа Симпсона известен еще способ Верещагина) применимы только при наличии двух условий:
- Изгибная жесткость балки на рассматриваемом участке должна быть постоянной (EI=Const),
- Одна из двух эпюр моментов на этом участке
должна быть обязательно линейной. При этом обе эпюры не должны в пределах данного участка иметь перелома.
должна быть обязательно линейной. При этом обе эпюры не должны в пределах данного участка иметь перелома.При наличии нескольких участков на балке, удовлетворяющих указанным двум условиям, формула для определения перемещений принимает вид:
Если результат вычисления получается положительным, то, следовательно, направление искомого перемещения совпадает с направлением «единичного силового фактора» ( 
), а если результат отрицательный, значит искомое перемещение происходит в направлении, противоположном этому фактору.
Формула Симпсона, записанная через моменты, выглядит следующим образом: перемещения (прогиб или угол поворота) равны
где li – длина участка;
EIi – жесткость балки на участке;
MF – значения изгибающих моментов с грузовой эпюры, соответственно в начале, в середине и в конце участка;
– значения изгибающих моментов с единичной эпюры, соответственно в начале, в середине и в конце участка.
При перемножении эпюр будет полезным для определения ординат эпюр изгибающих моментов:
Задача
Определить угол поворота сечения на левой опоре φА
1) Находим опорные реакции действительного состояния 
.
2) Строим эпюру моментов действительного состояния М.
3) Выбираем вспомогательное состояние для определения угла поворота φА.
4) Находим опорные реакции вспомогательного состояния
«Реагируем» на знак «минус».
5) Строим эпюру моментов вспомогательного состояния:
6) «Перемножаем» эпюры 
Поскольку одна из них (а именно 
) линейна на всем пролете и не имеет перелома, а эпюра М тоже без перелома, то в формуле Симпсона будет всего один участок, и тогда
Знак «плюс» говорит о том, что сечение А поворачивается в сторону «единичного момента» 
Источник