Ускорение свободного падения тела с увеличением высоты над уровнем моря

Зависимость g от высоты и широты места

Зависимость g от высоты и широты места

• Зависимость g от высоты и широты расположения. Ускорение Q-это привычка выражать С. С. Г. в условных единицах; так, например, широте 45°、 Но поскольку 2-й всегда используется как единица времени, q = = 980.597 см.

В будущем мы также добавим название единицы длины (Ежик Это не так. значение Q зависит от высоты и ширины расположения. Q и Q В то же время до высоты h над уровнем моря и уровнем моря на планете; Если R-радиус Земли、 _ 1 _9 в_ Если вы игнорируете высшую силу дроби -^ -. так…

то подъем происходит свободно Антенна или на башне Людмила Фирмаль

Двадцать три » если H выражается в сантиметрах、 ГХ = 9 а-0.00000000314 ч), А9） Предполагая, что d = 981 в пункте 2、 ГК = г-0.000003 П. В0） подъем на высоту h = 100 м = 10 000 см соответствует уменьшению d 0.03 см = 0,3 мм. Здесь предполагается, ч; например, вершина Эйфелевой башни в Париже Gi = 30 000 см） величина d почти на 1 мм меньше ее основания. Ричардс и Кригер Мензель.

Примеры решения, формулы и задачи

Решение задач	Лекции
Расчёт найти определения	Учебник методические указания

• Поверхность плато высоты fe、 гр = д а-0.00000000196 к). B1） Gunski был найден на вершине Монблана д = 9.79472(Чамны д-9.79999). Вопрос о том, как получить показания Q в разных местах на Земле Поверхность до 1 общего уровня была изучена теоретически бриллианом. Пуанкаре и Гельмут.

Ускорение q дополнительно изменяется в зависимости от широты местоположения по двум причинам. Прежде всего, центробежная сила, которая развивается при вращении Земли Реакция под действием силы тяжести, максимум на экваторе, ноль на полюсах; Во-вторых, потому что форма Земли (геоида) близка к эллипсоиду вращения、 В результате ускорение q от полюса к экватору также должно уменьшиться.

Учитывая все эти обстоятельства, вы получите следующее выражение Людмила Фирмаль

Helmert а также 901) ускорение м на высоте H над уровнем моря (и выше Поверхности Земли) и широты

Изучу , оценю , оплатите , через 2-3 дня всё будет на «4» или «5» !

Откройте сайт на смартфоне, нажмите на кнопку «написать в чат» и чат в whatsapp запустится автоматически.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Как ускорение свободного падения меняется с увеличением высоты?

неужели трудно сначала в ПОИСКЕ поискать?? ?

g = гравитационная постоянная (6,6742×10-11 м3с-2кг-1) * планета, с точечной массой M/ (радиуса R + высота h )
Глубина, это минус высота h,
Широта, вылазит, из-за того, что масса планеты распределена по объёму, который, кроме того, имеет нешарообразную форму!

С уменьшением широты g чуть-чуть уменьшается (до 5% на нулевой, то есть на экваторе) за счёт центробежной силы вращения Земли
С увеличением высоты тоже уменьшается — пропорционально квадрату расстояния до центра Земли
С глубиной тоже уменьшается, точно не скажу как, считать надо, а лень — поскольку с одной стороны расстояние до центра Земли уменьшается, а с другой стороны уменьшается часть Земли, притягивающая пробное тело, и, кроме того, появляются слои земли ВЫШЕ тела, тянущие противоположную сторону. .
!УскореL9;ние свобоL9;дного падеL9;ния g (обычно произносится как «Жэ» или «Жи») , — ускорение, сообщаемое телу под действием притяжения планеты или другого астрономического тела в безвоздушном пространстве — вакууме. Его значение для Земли обычно принимают равным 9,8 или 10 м/с². Стандартное («нормальное») значение, принятое при построении систем единиц, g = 9,80665 м/с², а в технических расчетах обычно принимают g = 9,81 м/с².

Ускорение свободного падения на поверхности некоторых небесных тел, м/с2 Луна 1,62 Сатурн 10,44
Меркурий 3,68 — 3,74 Земля 9,81
Марс 3,86 Нептун 11,09
Уран 8,86 Юпитер 23,95
Венера 8,88 Солнце 273,1

Значение g было определено как «среднее» в каком-то смысле ускорение свободного падения на Земле, примерно равно ускорению свободного падения на широте 45,5° на уровне моря.

Реальное ускорение свободного падения на поверхности Земли зависит от широты и варьируется от 9,780 м/с² на экваторе до 9,832 м/с² на полюсах [1]. Оно может быть вычислено по эмпирической формуле

Источник

Ускорение свободного падения

Определение ускорения свободного падения

Ускорением свободного падения называют ускорение, которое телу придает сила тяжести, если другие силы на рассматриваемое тело не действуют или их действие взаимно компенсируется.

Ускорение свободного падения обозначают буквой $g$. На поверхности Земли оно изменяется пределах от $9,78\ \frac<м><с^2>$ до $9,832\ \frac<м><с^2>$. На полюсах Земли ускорение свободного падения максимально, на экваторе минимально. Средним (стандартным или нормальным) значением ускорения свободного падения на Земле принято считать его величину, равную $g=9,80665\ \frac<м><с^2>\ $. В задачах величину ускорения свободного падения считают равной $g=9,81\frac<м><с^2>$ или часто даже полагают $g=10\frac<м><с^2>$, если расчеты приблизительные.

В соответствии с обобщенным законом Галилея все тела, находящиеся в одном и том же поле тяготения падают с одинаковыми ускорениями. Это означает, что в данной точке Земли ускорение свободного падения одинаково для всех тел. Изменение величины ускорения свободного падения около поверхности Земли в зависимости от широты связано с суточным вращением нашей планеты вокруг своей оси и тем, что форма Земли отличается от формы шара (Земля сплюснута).

Зависимость ускорения свободного падения от высоты над уровнем Земли

Если суточным вращением Земли пренебречь, то сила тяжести ($P=mg$) равна по величине силе тяготения (F):

где $M$ — масса Земли; $R$ — расстояние от центра Земли, до рассматриваемого тела; $\gamma $- гравитационная постоянная. Формула (1) справедлива, если тело находится около поверхности Земли, тогда ускорение свободного падения равно:

Ускорение, вычисляемое при помощи формулы (2) называют ускорением свободного падения на уровне моря.

Допустим, что тело находится на высоте $h$ над уровнем Земли, тогда сила тяжести, действующая на тело равна:

где $R_Z$ — радиус Земли. В таком случае ускорение свободного падения зависит от высоты, на которой находится рассматриваемое тело:

Изменениями ускорения свободного падения на высотах, которые много меньше, чем радиус Земли обычно пренебрегают. При этом считают, что ускорение свободного падения постоянная величина.

Влияние вращения Земли на ускорение свободного падения

Как уже отмечалось, на ускорение свободного падения оказывает влияние вращение нашей планеты вокруг своей оси. Допустим, что тело массой $m$ находится в точке с географической широтой $\varphi $. Вместе в планетой тело движется и при этом траекторией его движения является окружность радиуса $r$, равного:

где $R_Z$ — радиус Земли. Центростремительное ускорение ($a_n$) нашего тела при этом будет составлять величину:

где $T$ — период вращения Земли. Силу тяготения ($F$) можно разложить на две составляющие: центростремительную силу ($F_n$) и силу тяжести ($P$). Сила тяжести везде кроме полюсов, меньше силы тяготения. Везде, кроме экватора и полюсов, сила тяжести направлена не точно в центр Земли, а немного в сторону от него.

За счет вращения Земли сила тяжести на полюсах больше, чем у экватора, наша планета сплюснута.

Ускорение свободного падения на полюсе ($g_p$) максимально. Так как центростремительное ускорение равно нулю, полярный радиус ($R_p$) минимален:

Ускорение свободного падения ($g_e$) на экваторе равно разности:

где $R_e$ — экваториальный радиус Земли. Величину $\frac<\gamma M>$ называют напряженностью гравитационного поля Земли.

Примеры задач с решением

Задание. Радиус некоторой планеты равен R, ее средняя плотность составляет $\rho $, считая, что масса планеты распределена равномерно, определите ускорение свободного падения около поверхности этой планеты.

Решение. Ускорение свободного падения около поверхности планеты можно найти как:

где $R$ — радиус планеты; $M$ — масса планеты. Массу планеты найдем, считая ее шаром:

\[M=\frac<4><3>\pi R^3\rho \ \left(1.2\right).\]

Тогда ускорение свободного падения около поверхности этой планеты равно:

Ответ. $g=\frac<4><3>\gamma \pi \rho R.$

Задание. Какова зависимость ускорения свободного падения от расстояния от центра планеты$\ (\ r)$, если планета — однородный шар, плотность которого равна $\rho ?$ Радиус планеты R. Изобразите график $g\left(r\right).$

Решение. Рассмотрим случай, когда расстояние от центра планеты меньше ее радиуса ($r$ меньше $R$) (рис.1 (а)).

Расположим тело массы $m$ на расстоянии $r$ от центра планеты (в точке А). Тогда тело притягивается к планете с силой:

где $M’=\frac<4><3>\pi r^3\rho $ — масса планеты, которая ограничена сферической поверхностью радиуса $r$. При этом, ускорение свободного падения равно:

Расположим материальную точку массы $m$ в точке А за пределами планеты (рис.1 (б)), тогда по закону всемирного тяготения на точечную массу действует сила, равная:

где $M’=\frac<4><3>\pi R^3\rho $, в этом случае ускорение свободного падения равно:

В результате получаем:

\[\left\< \begin g_1\left(r\right)=\frac<4><3>\pi \gamma \rho r\ при\ r\le R \\ g_2\left(r\right)=\gamma \frac<4><3>\pi R^3\frac<\rho >при\ r\ge R. \end \right.\ \]

Источник

Измерение ускорения свободного падения на различных высотах при помощи математического маятника

1. Введение

Первым человеком, изучавшим природу падения тел, был греческий ученый Аристотель. Затем Галилео Галилей обобщил и не проанализировал опыт и эксперименты нескольких поколений исследователей. Он предположил, что в среде, свободной от воздуха, все тела будут падать с одинаковой скоростью. Также Галилей предположил, что во время падения скорость тел постоянно увеличивается. Экспериментировать со свободным падением тел продолжил Исаак Ньютон. В его выводах прослеживается мысль, что на Луне и на других планетах сила тяжести, воздействующая на одно и то же тело, будет неодинакова, зависит она напрямую от массы космического тела. Например, ускорение g на Луне в несколько раз меньше, чем на Земле. Таким образом, зная массу планеты, можно вычислить ускорение свободного падения тела на этой планете.

Цель настоящего исследования состояла в получении значения ускорения свободного падения при помощи математического маятника в условиях разного уровня высоты на уровнем моря. Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи исследования:

1. Ознакомиться с историей открытия свободного падения тел;
2. Изучить методы измерения ускорения свободного падения на поверхности Земли;
3. Провести самостоятельные измерения ускорения свободного падения при помощи математического маятника;
4. Провести измерения на различных высотах.

Гипотеза исследования: логично предположить, что ускорение свободного падения, полученные в разных экспериментах, должны быть близки к значению 9,8 м/с 2 и отличаться на сотые или тысячные доли на глубине станции метро Кремлевская (–34 м) и на высоте небоскреба «Лазурные небеса» (+120 м). Также результаты измерений и вычислений могут отличаться погрешностью измерений.

Методы изучения: самостоятельная, индивидуальная работа в сочетании с теоретическими исследовательскими, проектными формами работы.

Читая много различной в том числе и технической литературы, я узнал о практическом применении различия ускорения свободного падения в разных точках на поверхности Земли. Я измерял g различными способами, рассчитывал погрешности измерений, опираясь на общепринятое значение g, учился грамотно проводить эксперимент. Выяснил, что свободное падение – движение равноускоренное. Ускорение свободного падения не зависит от массы тела. Гипотезу о том, что значения ускорения свободного падения должны быть близки к значению 9,8 м/с 2 и отличаться только погрешностью измерений удалось подтвердить разными экспериментами. Наиболее точный результат ускорения свободного падения у меня получился с помощью математического маятника. Поэтому для исследования изменения значения ускорения свободного падения с высотой я выбрал именно этот способ измерения. Погрешность составила не более 10%.

В дальнейшем я хотел бы самостоятельно исследовать зависимость значения ускорения свободного падения от географического положения.

2. Основная часть

2.1. Исторические сведения об открытии свободного падения и методах его измерения

Еще тысячелетия назад люди замечали, что большая часть предметов падает все быстрее и быстрее, а некоторые падают равномерно. Но как именно падают эти предметы – этот вопрос первобытных людей не занимал. Тем не менее нашлись люди, которые по мере возможностей начали исследовать это явление. Сначала они проделывали опыты с двумя предметами. Например, брали два камня, и давали возможность им свободно падать, выпустив их из рук одновременно. Затем снова бросали два камня, но уже в стороны по горизонтали. Потом бросали один камень в сторону, и в тот же момент выпускали из рук второй, но так, чтобы он просто падал по вертикали. Люди извлекли из таких опытов много сведений о природе. Из опытов с падающими телами люди установили, что маленький и большой камни, выпущенные из рук одновременно, падают с одинаковой скоростью. То же самое можно сказать о кусках свинца, золота, железа, стекла, и т.д. самых разных размеров. Из подобных опытов выводиться простое общее правило: свободное падение всех тел происходит одинаково независимо от размера и материала, из которого тела сделаны. Между наблюдением за причинной связью явлений и тщательно выполненными экспериментами, вероятно, долго существовал разрыв. Две тысячи лет назад некоторые древние ученые, по-видимому, проводили вполне разумные опыты с падающими телами. Великий греческий философ и ученый Аристотель, по-видимому придерживался распространенного представления о том, что тяжелые тела падают быстрее, чем легкие. Аристотель и его последователи стремились объяснить, почему происходят те или иные явления, но не всегда заботились о том, чтобы пронаблюдать, что происходит и как происходит. Он говорил, что тела стремятся найти свое естественное место на поверхности Земли. В XIV столетии группа философов из Парижа восстала против теории Аристотеля и предложила значительно более разумную схему, которая передавалась из поколения в поколение и распространилась до Италии, оказав двумя столетиями позднее влияние на Галилея. Парижские философы говорили об ускоренном движении и даже о постоянном ускорении, объясняя эти понятия архаичным языком. Великий итальянский ученый Галилео Галилей обобщил имеющиеся сведения и представления и критически их проанализировал, а затем описал и начал распространять то, что считал верным. Галилей понимал, что последователей Аристотеля сбивало с толку сопротивление воздуха. Он указал, что плотные предметы, для которых сопротивление воздуха несущественно, падают почти с одинаковой скоростью.

Предположив, что произошло бы в случае свободного падения тел в вакууме, Галилей вывел следующие законы падения тел для идеального случая: все тела при падении движутся одинаково; начав падать одновременно, они движутся с одинаковой скоростью; движение происходит с «постоянным ускорением»; темп увеличения скорости тела не меняется, т.е. за каждую последующую секунду скорость тела возрастает на одну и ту же величину. Существует легенда, будто Галилей проделал большой демонстрационный опыт, бросая легкие и тяжелые предметы с вершины Пизанской падающей башни (одни говорят, что он бросал стальные и деревянные шары, а другие утверждают, будто это были железные шары весом 0,5 и 50 кг). Описаний такого публичного опыта нет, и Галилей, несомненно, не стал таким способом демонстрировать свое правило. Галилей знал, что деревянный шар намного отстал бы при падении от железного, но считал, что для демонстрации различной скорости падения двух неодинаковых железных шаров потребовалась бы более высокая башня. Итак, мелкие камни слегка отстают в падении от крупных, и разница становится тем более заметной, чем большее расстояние пролетают камни. И дело тут не просто в размере тел: деревянный и стальной шары одинакового размера падают не строго одинаково. Галилей знал, что простому описанию падения тел мешает сопротивление воздуха. Но он мог лишь уменьшить его и не мог устранить его полностью. Поэтому ему пришлось вести доказательство, переходя от реальных наблюдений к постоянно уменьшающимся сопротивлением воздуха к идеальному случаю, когда сопротивление воздуха отсутствует. Позже, оглядываясь назад, он смог объяснить различия в реальных экспериментах, приписав их сопротивлению воздуха.

Вскоре после Галилея были созданы воздушные насосы, которые позволили произвести эксперименты со свободным падением в вакууме. С этой целью Ньютон выкачал воздух из длинной стеклянной трубки и бросил сверху одновременно птичье перо и золотую монету. Даже столь сильно различающиеся по своей плотности тела падали с одинаковой скоростью. Именно этот опыт дал решающую проверку предположения Галилея. Опыты и рассуждения Галилея привели к простому правилу, точно справедливому в случае свободного падения тел в вакууме. Это правило в случае свободного падения тел в воздухе выполняется с ограниченной точностью. Поэтому верить в него, как в идеальный случай нельзя. Для полного изучения свободного падения тел необходимо знать, какие при падении происходят изменения температуры, давления, и др., то есть исследовать и другие стороны этого явления. Так Галилей установил признак равноускоренного движения:

Таким образом, можно предположить, что свободное падение есть равноускоренное движение. Так как для равноускоренного движения перемещение рассчитывается по формуле, то если взять три некоторые точки 1,2,3 через которые проходит тело при падении и записать: (ускорение при свободном падении для всех тел одинаково), получится, что отношение перемещений при равноускоренном движении равно:

Остается еще добавить небольшой комментарий относительно экспериментов со свободным падением тел Исаака Ньютона. В его выводах прослеживается мысль, что на Луне и на других планетах сила тяжести, воздействующая на одно и то же тело, будет неодинакова, зависит она напрямую от массы космического тела. Например, ускорение g на Луне в несколько раз меньше, чем на Земле. Таким образом, зная массу планеты, можно вычислить ускорение свободного падения тела на этой планете.

2.2. Практическая значимость нахождения значения ускорения свободного падения

Я много читаю и, как следствие склонен фантазировать. Для меня практическая значимость исследования заключается в возможности прогнозирования форм жизни на небесных телах, с которыми человечество столкнется при неизбежном освоении космоса. Ведь от значения g на другой планете зависит не только сила тяжести. Люди заранее смогут узнать, какие существа встретят их на той или иной планете, какими физическими характеристиками они будут обладать.

2.3. Методы измерения ускорения свободного падения

На самом деле методов по измерению ускорения свободного падения достаточно много. Приведу только те, которые сам испробовал.

1) Измерение ускорения свободного падения с помощью наклонной плоскости

Понадобится следующее оборудование:деревянный брусок, трибометр, штатив с муфтой и лапкой, электронный секундомер, динамометр, измерительная лента, линейка. Рассматривая движение бруска вниз по наклонной плоскости, можно записать второй закон Ньютона в векторном виде:

Записывая второй закон Ньютона в проекциях на оси координат:

и учитывая, что N = mgcos α ; F_тр = μN; можно решить данную систему уравнений и получить ускорение свободного падения:

g =	a
	sin α – μcos α

При этом ускорение a можно вычислить из формулы

S =	a t 2	,
	2

так как начальная скорость бруска при скольжении по наклонной плоскости равна 0:

a =	2S	.
	t 2

Видим, что для этого нужно измерить длину наклонной плоскости и время скольжения по ней бруска.

Для вычисления sinα и cosα нужно знать длину S и высоту h наклонной плоскости:

sin α =	h
	S

Для определения коэффициента трения скольжения положим трибометр на горизонтальную поверхность и с помощью динамометра равномерно протащим по нему брусок. В этом случае на брусок будут действовать 4 силы: сила тяжести, сила упругости пружины динамометра, сила трения, сила реакции опоры.

При равномерном движении бруска эти силы будут попарно равны: F_тр = F_упр, F_тяж = N, т. е. F_упр = μF_тяж, тогда коэффициент трения равен

μ =	Fy
	Fт

Для меня в этом методе оказалось слишком много математических действий, с которыми в курсе математики я еще не знаком. Поэтому даже не буду приводить результаты проделанных измерений и вычислений.

2) Определение g благодаря давлению жидкости

Как известно давление столба жидкости обусловлено следующими факторами: плотность жидкости, непосредственно высота столба жидкости и само значение ускорения свободного падения на данной планете.

Если преобразовать формулу P = ρ gh, получится формула нахождения g. Эта формула выглядит так g = P / ρ h, где Р – давление в жидкости на глубине h, которое можно узнать с помощью манометра, ρ – плотность воды равное 1000 кг/м 3 .

При подобных измерениях нужно учитывать погрешность измерительного прибора, манометра. Достаточно точного мне найти не удалось, поэтому для своих исследований я выбрал другой метод.

3) Измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

Необходимое оборудование: секундомер, штатив с муфтой и лапкой, шарик на нерастяжимой нити, измерительная лента. При малых размерах шарика по сравнению с длиной нити и небольших отклонениях (до 10°) от положения равновесия период колебаний равен периоду колебаний математического маятника

С другой стороны период колебаний маятника можно расчитать из определения, ведь период – это время одного полного колебания. Тогда период

T =	t	,
	N

и ускорения свободного падения может быть вычислено по формуле

g = 4 π 2	l N 2	.
	t 2 cр

Подготовка к проведению работы

В работе используется простейший маятник – шарик на нити. При малых размерах по сравнению с длиной нити и небольших отклонениях от положения равновесия период колебаний равен периоду колебаний математического маятника

T =	t	,
	N

и ускорения свободного падения может быть вычислено по формуле

g = 4 π 2	l N 2	.
	t 2 cр

Результаты измерений и вычислений представлены в разделе 2.5

2.4. Теоретические расчеты по определению ускорения свободного падения различных высотах

Теоретически значение ускорения свободного падения на поверхности планеты Земля можно приблизительно подсчитать, представив планету точечной массой M, и вычислив гравитационное ускорение на расстоянии её радиуса R:

g = G	M	,
	R 2

где G — гравитационная постоянная (G = 6,6743 · 10 –11 (H ·м 2 )/кг 2 ).

При вычислениях я применял такие значения:

R = 6370 · 10 3 м – радиус Земли на широте Казани;

M = 5,9722 · 10 24 кг – масса Земли.

Таким образом теоретическое значение g_т = 9,823386 м/с 2 .

g = G	M	,
	(R ± h) 2

естественно предположить, что ускорение свободного падения на разных высотах будет немного отличаться: на глубине будет больше, а на высоте меньше вычисленного выше.

Возможно эту небольшую разницу можно объяснить погрешностью измерений. Проверим.

Результаты вычислений значения ускорения свободного падения на различных высотах представлены в таблице:

На станции метро Кремлевская

На 36-м этаже небоскреба

2.5. Экспериментальное определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

Как уже говорилось ранее, оборудование для проведения измерений требовалось весьма не замысловатое: секундомер, штатив с муфтой, шарик на нерастяжимой нити, измерительная лента. При малых размерах шарика по сравнению с длиной нити и небольших отклонениях (до 10°) от положения равновесия период колебаний равен периоду колебаний математического маятника

С другой стороны период колебаний маятника можно расчитать из определения, ведь период – это время одного полного колебания. Тогда период

T =	t	,
	N

и ускорения свободного падения может быть вычислено по формуле

g = 4 π 2	l N 2	.
	t 2 cр

Ход работы

Для начала я проделал все необходимые измерения в классе, в кабинете физики Лицея № 110. Кабинет находится на втором этаже. Учитывая высоту потолков (около 3 м), логично предположить, что вычисленные значения g должны быть близки к gт.

Источник